¡¡¡ U N POCO DE ESTADISTICA !!!

 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL


1.2.-La Media Aritmética La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por  (léase como "X barra"). La media aritmética para datos no agrupados Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X1, X2, X3,…,Xn,
 la media aritmética de este conjunto de datos se define como "la suma de los valores de los ni números , divididos entre n", lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como: Ejemplo: Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que: 
La media aritmética para datos agrupados Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto
 la media aritmética para datos agrupados 

puede definirse de la siguiente manera: Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son: X1, X2, X3,…,Xn; y las respectivas frecuencias son f1, f2, f3, … , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera: donde: N = número total de observaciones, por tanto Σfi puede simplificarse y escribirse como N ( N= Σfi ) Ejemplo: Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los siguientes: Clases 1 2 3 4 5 6 Puntos Medios (Xi) 14,628 29,043 43.458 57,873 72.288 86.703 Frecuencias (fi) 10 4 5 3 3 5 Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente: Media aritmética ponderada Por otro lado, si al promediar los datos estos tienen diferentes pesos, entonces estamos ante un caso de media aritmética ponderada, que puede definirse de la siguiente manera Definición: Sea dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2; X3; … ; Xn; y un conjunto de valores p1, p2; p3; … ; pn; asociado con cada observación Xi respectivamente, que reciben el nombre de factores de ponderación, entonces la media ponderada se calcula como: 


Ejemplo:

 En el curso de estadística del Prof. Cabrera la nota semestral se calcula como una media ponderada. Por cuanto que el promedio de laboratorios representa el 30% de la nota semestral. El promedio de ejercicios parciales representa el 30% y el examen semestral el restante 40%. Si obtiene en este curso los siguientes promedios al final del semestre: laboratorios 90 pts. Parciales 75% pts. Y en el examen semestral 70 pts.; el promedio semestral se calcula de la siguiente forma.: 

Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos

• La Mediana para datos no agrupados.

Sea X1, X2; X3; … ; Xn; una sucesión de datos, la mediana denotada por X0.5 se calcula de la siguiente manera:
X0.5 = X (n+1)/2 si n es par
Xn/2 + X(n/2)+1
X0.5= ---------------------- si n es impar
2
Nota: El resultado obtenido en la formula corresponde al número de la observación en el arreglo, por tanto debe reemplazarse por el valor de dicha variable en el arreglo.
Ejemplo: (n es impar)
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de I año, a saber: 18,23,25.27 y 35. Obsérvese que los datos deben estar ordenados en un arreglo ascendente o descendente.
Por cuanto que el número de datos es cinco (n=5) y es impar, entonces

X0.5 = Xn+1/2 = X(5+1)/2 = X6/2 = X3 = 25 años

Nota: obsérvese que se obtuvo el número de la variable mediana (X3) que en el arreglo de edades ordenado en forma ascendente corresponde a 25 años (X3=25)
Continuación del ejemplo…(n es par)
Si el número de estudiantes hubiere sido par, suponga que se adiciona un estudiante con 31 años, entonces el arreglo ascendente consecuente sería 18, 23, 25, 27, 31 y 35, entonces la mediana se calcula asi:

• La mediana para datos agrupados

Si se tiene una distribución de frecuencias, la mediana es igualmente ese valor que tiene 50% de las observaciones por debajo y 50 % por encima. Geométricamente, la mediana es el valor de X sobre el eje de las abscisas correspondiente a la ordenada que divide un histograma en dos partes de igual área.
Para hallar el valor de la mediana, en el caso de datos agrupados debe encontrarse primero la clase mediana, la que se define como la clase más baja para la cual la frecuencia acumulada excede N/2 (siendo N=Σfi ). Encontrada esta clase, la siguiente formula servirá para hallar el valor de la mediana

N/2 –Fi

X0.5 = Li + ------------- ( C )

fi

donde:
L = límite inferior de la clase mediana.
N = frecuencia total o Σfi.
fa = frecuencia absoluta acumulada hasta la clase premediana
fi = frecuencia absoluta de la clase mediana
C = amplitud de la clase mediana.
Ejemplo:
Si se toman los datos obtenidos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencias de las cuentas por cobrar de la tienda Cabrera’s y Asociados que fueron las siguientes

Clases	P.M. Xi	fi	fr	fa↓	fa↑	fra↓	fra↑
7.420 – 21.835	14.628	10	0.33	10	30	0.33	1.00
21.835 – 36.250	29.043	4	0.13	14	20	0.46	0.67
36.250 – 50.665	43.458	5	0.17	19	16	0.63	0.54
50.665 – 65.080	57.873	3	0.10	22	11	0.73	0.37
65.080 – 79.495	72.288	3	0.10	25	8	0.83	0.27
79.495 – 93.910	86.703	5	0.17	30	5	1.00	0.17
Total	XXX	30	1.00	XXX	XXX	XXX	XXX

Si se desea calcular la mediana, es necesario primero encontrar la clase mediana, que será aquella que en teoría contenga el dato N/2 = 30/2 = 15, que corresponde con la tercera clase por cuanto que la frecuencia acumulada (fa) hasta esa clase es 19, luego entonces:

Respuesta: La mediana de cuentas por cobrar es B/.39.133

• Propiedades de la mediana

• Hay solo una mediana en una serie de datos.
• No es afectada por los valores extremos ( altos o bajos )
• Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto.
• Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.

1.3.- La Moda (Mo.):

A veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.
En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia

La Mediana (X0.5):

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por X0.5
La mediana es una medida de posición y se define como la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera:

—Relación empírica entre la media, la mediana y la moda

En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente:

Media – Moda = 3(Media – Mediana

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden