jueves, 10 de mayo de 2012

DETERMINANTES   Y MATRICES :

 
Determinante (matemática)
Enmatemáticasse define el determinante
como unaforma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definiciónindica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable ennumerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de
volumen orientado
fue introducido para estudiarel número de soluciones de lossistemas de ecuaciones lineales.
Historia de los determinantes
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir delsiglo XVI, esto es, antes que lasmatrices, que no aparecieron hasta elsiglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu.iuzhang Suanshuo Los nueve capítulos del arte matemático) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmoque, desde el SigloXIX, se conoce con el nombre de    Eliminación de Gauss-Jordan
.
La historia de los determinantes
Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz  Fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era     “la madre de los determinantes
.Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedadesde los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que:
la teoría de los determinantes seoriginó con el matemático alemánGottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) quien fue conNewton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuacioneslineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10años antes.Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-LouisCauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostracióndel teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas.
 En su texto decálculo de 1829 Lecons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite.Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchyhizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de laprobabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas.
 A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después deCauchy, fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a lasdemostraciones rigurosas.El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador . Cuando la Academis Francesa de Ciencias comenzó apublicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastosde impresión se hicieron tan grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatrocuartillas por cada documento a ser publicado.Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactoresfue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocidopor la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas.Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él con quien la palabradeterminante
ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de lasfunciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.
 
Determinante  
se calculan con la siguiente fórmula:Dada una matriz de orden 3:En determinante de orden 3 se calcula mediante laregla de Sarrus:
Determinantes   de orden superior
El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo deun determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por suadjunto(es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dichoelemento, multiplicado por (-1)
i+j
donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos losproductos es igual al determinante.En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculadospor la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar loselementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismométodo, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado undeterminante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tresceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantesestarán multiplicados por 0, lo que los anula).La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas ycolumnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante deorden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número dedeterminates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual aPor ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 =604.800 determinantes de orden 3.También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Sibien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden3necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

 
Determinante (matemática)6
Fig. 2.Suma de las áreas de dos paralelogramos adyacentes.
La figura 2, en el plano, ilustra un casoparticular de esta fórmula. Representa dosparalelogramos adyacentes, uno definidopor los vectores u y v (en verde), y otro porlos vectores u' y v (en azul). Es fácil versobre este ejemplo el área del paralelogramodefinido por los vectores u+u' y v (en gris):es igual a la suma de los dos paralelogramosprecedentes a la cual se sustrae el área de untriángulo y se añade el área de otrotriángulo. Ambos triángulos secorresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas demanera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.
Generalización
Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base ortonormal directa
 B
utilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del determinante da el mismo resultado sea cualsea la base ortonormal directa elegida para el cálculo.
Determinante de tres vectores en el espacio eucdeo
Sea
 E 
el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de
 E 
se da por
Fig. 3. Ilustración gráfica de la trilinealidad.
Este determinante lleva el nombre deproducto mixto.
Propiedades
El valor absoluto del determinante es igual alvolumen de paralelepípedo definido por los tresvectores.•El determinante es nulo si y sólo si los tres vectoresse encuentran en un mismo plano (paralelepípedo"plano").
 La aplicación determinante es trilineal: sobre todoUna ilustración geométrica de esta propiedad se da enla figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir  con una cara común. La igualdad siguiente es entonces intuitiva:.

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