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Uso de matrices para solucionar sistemas lineales
Este tutorial: Parte A: La matriz de un sistema y operaciones de renglón
Parte B: Solucionar sistemas por Gauss-Jordan
Parte C: Sistemas inconsistentes y indeterminados
(Se puede encontrar esta tema en la Sección 2.2 del libro Matemáticas finitas o la Sección 2.2 de Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
En el
tutorial anterior (Sección 2.1)
hablamos de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Aquí generalizamos a cualquier número de incógnitas y tambíen
describimos una otra manera de solucionar tales sistemas.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, ..., xn tiene la forma
a1x1 + ... + anxn = b (a0, a1, a2, ..., an constantes)
Los números a1, a2, ..., an son las coeficientes y b es el termino constante, o el lado derecho.
Nota Frecuentemente llamamos a los incógnitos x, y, z, ...
en vez de x1, x2, ..., xn cuando es conveniente.
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Ejemplos:
| Dos incógnitos: |
4x − 5y = 0 |
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a1 = 4, a2 = −5, b = 0 |
| Tres incógnitos: |
−4x + y + 2z = −3 |
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a1 = −4, a2 = 1, a3 = 2, b = −3 |
| Cuatro incógnitos: |
3x1 + x2 − x3 + 11x4 = 5 |
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a1 = 3. a2 = 1, a3 = −1, a4 = 11, b = 5 |
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| La forma matriz de una ecuación lineal
La forma matriz de la ecuación a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b es la matriz renglón [a1 a2 ... an b].
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Ejemplos:
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4x − 5y = 0; (Incógnitos: x, y) |
Forma matriz: [4 −5 0] |
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4x = −3 (Incógnitos: x, y) |
Forma matriz: [4 0 −3] |
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4x + 0y = −3 |
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2x − z = 0 (Incógnitos: x, y, z) |
Forma matriz: [2 0 −1 0] |
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2x + 0y − z = 0 |
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−2x + y = 4
(Incógnitos: x, y) |
Forma matriz:
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−y = 0
(Incógnitos: x, y) |
Forma matriz:
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−x + 2z = 3
(Incógnitos: x, y, z)
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Forma matriz:
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| La forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales; matriz ampliada
Cuando tenemos un sistema a dos o más ecuaciones lineales con los mismos incógnitos, entonces la matriz ampliada o la matriz aumentada
del sistema es la matriz cuyos renglones son las formas matriz de las
ecuaciones individuales. (Se llama "ampliada" porque incluye los lados
derechos de las ecuaciones en su última columna.)
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Ejemplos:
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Operaciones de renglón
Aquí están tres cosas que se puede hacer sin afectar la solución;
1. Intercambiar cualquier dos ecuaciones
2. Multiplicar ambos lados de cualquier ecuación por un número distinto de cero
3. Reemplazar cualquier ecuación por su suma con una otra
ecuación. De manera más general, se puede, por ejemplo, reemplazar una
ecuación por 4 veces aquella ecuación más 6 veces una otra.
Correspondiente a estos cambios son las siguientes
operaciones de renglón en una matriz ampliada.
Operación de renglón |
Ejemplo |
1. Intercambiar dos renglones
Escribimos Ri Rj para significar "Intercambie Renglón i y Renglón j."
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2. Multiplicar un renglón por un número a distinto de cero
Escribimos a Ri a lo lado del io renglón para significar "Multiplique Renglón i por a."
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Para multiplicar Renglón 2 por 5, Escribimos la instrucción 5R2 a lo lado de Renglón 2.
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1 |
-2 |
5 |
 |
3 |
0 |
9 |
5R2 |
|
|
|
1 |
-2 |
5 |
|
15 |
0 |
45 |
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3. Reemplazar un renglón por una combinación con un otro renglón
Escribimos aRi ± bRj a lo lado del io renglón para significar "Reemplace Renglón i por a veces Renglón i más or menos b veces Renglón j".
|
Escribimos la instrucción 2R1-3R2 a lo lado de Renglón 1 para significar:" Reemplace Renglón 1 por dos veces Renglón 1 menos tres veces Renglón 2."
Es decir:
"Dos veces el renglón superior menos tres veces el renglón inferior."
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1 |
-2 |
5 |
|
2R1-3R2 |
3 |
0 |
9 |
|
|
|
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-7 |
-4 |
-17 |
|
3 |
0 |
9 |
|
Pulse aquí para ver como lo obtenemos.
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| CONCURSO |  |
Realice las indicadas operaciones de renglones y pulse "Verificar."
| P
|
| -2 | -2 | 0 | 0 |
|
| -1 | 0 | 1 | 3 |
| -2 | 2 | -2 | 2 |
|
|
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| 3R2 + 4R3
| |
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|
|
|
| P
|
| 1 | -2 | 0 | 1 |
|
| 3 | -2 | 1 | 3 |
| 2 | -2 | -3 | 0 |
|
| R1 − R2
|
|
| |
| R3 − R2
|
|
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Está listo para ir a la
Parte B: Solucionar sistemas por Gauss-Jordan.
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