MATEMATICA I ADM. ( GUIA DE RELACIONES Y FUNCIONES)-EJERCICIOS

FUNCION REAL  DE VARIABLE REAL   Es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único f(x). La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente. Una función puede ser especificado: numéricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una formula gráficamente: por medio de una gráfica. Nota acerca de los dominios El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural. Pulse aquí para ir a una página que se deja evaluar y dibujar a las curvas de funciones. Pulse aqui para descargar una graficador Excel. Inicio de página	Ejemplos  Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla: x 0 1 2 3 f(x) 3.01 -1.03 2.22 0.01 Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente. Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 - 4x + 1. Entonces f(2) = 3(2)2- 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5, f(-1) = 3(-1)2- 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8. Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales   Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica. Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0,  y     f(3) = 5.
Intervalos El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b. El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b. El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b. Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].	Ejemplos Intervalo Dibujo Descripción [-1, 6) -1 ≤ x < 6 (2, 4) 2 < x < 4 (-∞, 0] -∞ < x ≤ 0
Gráfica de una función La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f. La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función: Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto. Inicio de página	Ejemplo Para obtener la gráfica de f(x) = 3x2 - 4x + 1     Forma de función con dominio restringido a [0, + ∞)  Sustituimos f(x) por "y",  así  obtenemos la ecuación y = 3x2 - 4x + 1.     Ecuación cuadratica  Entonces obtenemos la gráfica  trazando puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo: No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido para x  ≥ 0.(dominio restringido por dato)
MODELOS MATEMATICOS  Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación. Ejemplos 1 y 2 de enfrente son modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que Ejemplo 3 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados. Inicio de página	Ejemplos Situación Modelo 1. Hay presentemente 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo por 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo. N(t) = 50 + 2t t = tiempo en semanas, N = número de películas 4. Invierto $1000 a una tasa de interés del 5% compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de t años. A(t) = 1000(1 + 0.0125)4t Por la formula para interés compuesto (vea Parte B) 3. Números de socios en  Facebook  n(t) = 4t if 0 ≤ t ≤ 3       millones de miembros 50t−138      if 3 < t ≤ 5 t = tiempo en años desde el principio de 2004, n = número de socios en millones
MODELOS COSTO, INGRESO Y UTILIDAD   Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x   y el costo fijo es constante.  UNA FUNCION COSTO  tiene la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo. Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos. Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula P(x) = R(x) - C(x). Equilibrio se ocurre cuando P(x) = 0 o, equivalentemente, cuando R(x) = C(x). Inicio de página	Ejemplo Si el costo a fabricar x refrigeradoras es C(x) = 2x2 + 150x + 6000 dolares, entonces el costo variable es 2x2 + 150x y el costo fijo es $6000.  A) Si se vende las refrigeradoras para $500 cada una, entonces el ingreso es I(x) = 500x dolares, y la función utilidad es U(x) = I(x) − C(x) = 500x − (2x2 + 150x + 6000) = −2x2 + 350x − 6000 Equilibrio ocurre cuando en P(x) = −2x2 + 350x − 6000 = 0. Despejamos a x por la formula cuadrática  y  se da dos soluciones:  x ≈ 19.26 y      x =155.74. - Cuando x está entre estos dos valores, U(x) es positiva,  significa Hay  una utilidad.   Por lo tanto, se debe fabricar y vender al menos 20 refrigeradoras (pero no más que 155) para realizar una utilidad. Vaya al tutorial para más ejemplos. 2. Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces C(x) = 40x + 400 R(x) = 60x P(x) = R(x) -C(x)   = 60x- (40x + 400)   = 20x- 400. Para equilibrio, P(x) = 0 20x- 400 = 0, entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.
Modelos demanda y oferta Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta "q"(el número de articulos que  un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube. La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio. Inicio de página	Example Si la demanda para las Botas Wellington de Ludington es q = −4.5p + 4000 pares vendidos por semana y la oferta es q = 50p − 1995 pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de equilibrio cuando la demanda = la oferta:     q(x)   =  p(x)    −4.5p+4000 = 50p−1995 54.5p = 5995 que se da p = 5995/54.5 = $110.De aqui decimos que  el precio equilibrio es $110 y  la demanda de equilibrio es q = −4.5(110) + 4000 = 3505 pares por semana. POR TANTO : En la grafica el punto de interseccion de las curvas es el punto de equilibrio (pe, qe)  En la grafica podemos ver ademas lo que ocurre a precios distintos del precio de equilibrio Cuando el precio está por  debajo del precio de equilibrio, entonces será mayor la demanda que la oferta y  por tanto  resulta una escasez de productos en el mercado . Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente, decimos entonces  que el mercado es liquido o está despejado hay equilibrio  en el mercado Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta que la demanda, y se resulta una excedente.
Funciones lineales Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b     Notación de función y = mx + b     Notación de ecuación donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales). Papel de m: Si y = mx + b, entonces:  (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.  (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.  (c) Despejando a m, se obtiene m = Δy Δx = Cambio en y Cambio en x Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)	Ejemplos La función f(x) = 5x - 1 es una función lineal donde m = 5 y b = -1  ACTVIDAD DE EXTENSION 1. Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para "y"como funciones lineales de " x"  . Identifique  los parametros "m "y   " b"  apartir de us graficas ( traze la grafica para cada funcion A)   3x - y + 4 = 0             y = 3x + 4 B)   4y = 0 y = 0 c) M 3x + 4y = 5 y = -(3/4)x + 5/4
UNIDAD III:  GEOMETRIA                     ANALITICA  1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1.2 PUNTO ,EDIO DE UN SEGMENTO 1.3.ECUACIONES  DE LA  RECTA :            y = mx + b  Ecuacion punto-pendiente (x - x1) = m (y - y1)  Ecuacion    La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula m = y2 - y1 x2 - x1 = Δy Δx La gráfica de la función lineal f(x) = mx + b   Forma de función o     y = mx + b   Forma de ecuación Es una recta con pendiente m y intersección en "y" igual a "b."	Ejemplos El pendiente de la recta que pasa por (2, -3) y (1, 2) se expresa por m = y2 - y1 x2 - x1 = 2 + 3 1 - 2 = -5. Para ver como dibujar la gráfica de una función lineal, vea el siguiente tópico.
Dibujando la gráfica de una función lineal   Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal. (a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y después dibuje la recta con intersección en y igual a b y pendiente igual a m. (b) Calcule las intersecciones en x e  y,  luego  dibuje la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en x de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y despeje a x. Para calcular la intersección en y, establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.	Ejemplos Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2x - 3y = -6. (a) Despejando a y, obtenemos y = 2/3  x + 2. Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección en y es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica. Paso 1 Empiece con la intersección en y. Paso 2 Dibuje una recta con la pendiente que se da. Intersección-y =2 Pendiente = 2/3 (b) Para obtener la intersección en x, establezca y = 0. La ecuación se convierte a 2x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x. Para obtener la intersección en y, establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica. Paso 1 Empiece con las intersecciones en x y en y. Intersección-x = -3 Intersección-y = 2   Paso 2 Dibuje la recta que pasa por las dos intersecciones.
Ajustando una ecuación lineal a datos: Como hacer un modelo lineal Formula punto-pendiente: Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es y = mx + b     donde b = y1 - mx1 Cuando aplicar la formula punto-pendiente Aplique la formula punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta siempre que tiene información acerca un punto y la pendiente de la recta. La formula no se aplica si la pendiente es indefinida. Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y, entonces puede sencillamente escribir la función lineal como     y = mx + b. Esta formula se llama la formula pendiente-intersección. Rectas verticales y horizontales Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (x1, y1) es y = y1. Una ecuación de la recta vertical que pasa por (x1, y1) es                   x = x1.	Ejemplos Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es y = -5x + b,       Para  ( x1,y1) = (1,2) obtenemos"b b = y1 - m. x1        b = 2 -(-5)(1) = 7 entonces y = -5x + 7.   ¿Que podemos decir de su pendiente para las siguientes rectas ? 1)  Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (3,-4) es y = -4.   m=  ? 2)   Una ecuación de la recta vertical que pasa por (3, -4) es x = 3.      m=  ?   ..............................
Interpretación de la pendiente en aplicaciones La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x Si "y "es desplazamiento y "x" es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, m/s). Si "y "es costo y   "x" es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).	Ejemplo El número de páginas web en este sitio se puede expresar por la ecuación n = 1.2t + 200, donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio1997.  La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana. Inicio de página
Regresión lineal Valores observados y pronosticados Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos (x1, y1), ..., (xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores observados y. Si se modela estos datos con una ecuación lineal Y = mx + b        y   representa y "estimada" o "pronosticada". entonces los valores de y que se obtiene por sustituir x en la ecuación por los valores dados de x se llaman los valores y pronosticados: y1 = mx1 + b       Sustituya x por x1 y2 = mx2 + b Sustituya x por x2     . . .     yn = mxn + b Sustituya x por xn Residuos y error suma de cuadrados, (SSE) Si modelamos un conjunto de datos (x1, y1), ... , (xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor pronosticado):     (y1 - y1),       (y2 - y2),   . . .   ,   (yn - yn) El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos: SSE =         (y1 - y1)2 +         (y2 - y2)2 + . . .   +         (yn - yn)2 + Recta de regresión La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE. La recta de regresión se representa por y = mx + b donde m = n(Σxy) - (Σx)(Σy) n(Σx2) - (Σx)2 b = Σy - m(Σx) n n = número de puntos de datos Pruebe la utilidad en-línea de regresión si quiere ver la recta de regresión de unos puntos de datos. Inicio de página	Ejemplos Valores observados y pronosticados Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la ecuación y = 2x + 1.5 entonces los valores pronosticados se obtiene por sustituir x en la ecuación de la recta por los valores dados de x: y1 = 2x1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5 y2 = 2x2 + 1.5 =   y3 = 2x3 + 1.5 =   Residuos y error suma de cuadrados, (SSE) Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2x + 1.5 que se muestra más arriba, los residuos son: y1 - y1 = 2 - 1.5 = 0.5 y2 - y2 = y2 - y2 = El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas: SSE = (0.5)2 + (-0.5)2 + (-3.5)2 = 12.75