LIMITE DE FUNCIONES

LIMITE DE FUNCIONES LIMITE DE UNA FUNCION : Lo Escribimos asi.   lim x→a f(x) = L   El límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L     o igualmente f(x) → L cuando x → a para decir que f(x) se acerca a el número L a medida que x se acerca a (pero no está igual a) el número a desde ambos lados. Una manera más precisa a formular la definición es como sigue: Se puede hacer que f(x) sea tan cercana a L como queremos si hacemos que x se acerque lo suficiente a a. lim x→a+ f(x) = L o f(x) → L cuando x → a+ Lim x→a- f(x) = L o f(x) → L cuando x → a- para significar que f(x) → L cuando x se acerca a a por la derecha (o por arriba), o por la izquierda (o por abajo), respectivamente. Para que limx → a f(x) existe, es necesario que los límites por la izquierda y la derecha existen y ser iguales. Escribimos lim x→+∞ f(x) = L lim x→-∞ f(x) = L para significar que f(x) → L cuando x sea arbitrariamente grande, o que sea un número negativo arbitrariamente grande, respectivamente.   Ejemplos 1. Cuando x → 3, la cantidad 3x2-4x+2 se acerca a 17, y entonces lim x→3 (3x2-4x+2) = 27 Nota que esto es sencillamente el valor de la función evaluada a x = 3 (vea "evaluación algebraica de límites" más abajo). 2. Por otro lado, la función x2 - 9 x - 3 no es definido a x = 3. Sin embargo, por otros valores de x, se simplifica a x2 - 9 x - 3 = x - 3)(x + 3) x - 3 = x + 3, y, cuando x → 3, esta cantidad se acerca a 6. Entonces, x2 - 9 x - 3 → 6     cuando  x → 3,   lim x→3 x2 - 9 x - 3 = 6 Estimación Numérica de Límites   Para analizar un límite de la forma lim x→a f(x)   o lim x→±∞ f(x)   numericamente: Haga una tabla de los valores de f(x) usando valores de x que se acerca a a por ambos lados. Si el límite existe, los valores de f(x) se acercarán al límite a medida que x se acerca a a por ambos lados. Cuanto más exacto desea estimar este límite, más cercano a a deberá elegir los valores de x. Para un límite cuando x → +∞, use valores positivos de x que se vuelven arbitrariamente grande. Para un límite cuando x → -∞, use valores negativos de x cuyas magnitudes se vuelven arbitrariamente grande. Ejemplos 1. Para estimar lim x→3 x2 - 9 x - 3 , hacemos una tabla con valores de x que se acercan a 3 desde ambos lados: x acercándose a 3 por la izquierda →      x acercándose a 3 por la derecha ← x 2.9 2.99 2.999 2.9999 f(x) = x2 - 9 x - 3 5.9 5.99 5.999 5.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1 6.0001 6.001 6.01 6.1 Como los valores de f(x) parecen acercarse a 6 a medida que x se acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el límite es 6.   2. Para estimar lim x→ +∞ x2 - x + 1 2x2 - 3 , hacemos una tabla con valores de x acercándose a +∞: x acercándose a +∞   → x 10 100 1000 10,000 f(x) = x2 - x + 1 2x2 - 3 0.461929 0.495124 0.499501 0.49995 +∞ Como los valores de f(x) parecen acercándose a 0.5 a medida que x se acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el límite es 0.5.   Estimación Geométrica de Límites Para analizar un límite de la forma lim x→a f(x)     o     lim x→±∞ f(x) desde el punto de vista geométrico: Se traza la gráfica de f(x) por mano o con tecnología, como una calculadora graficadora. Si se quiere estimar el límite cuando x → a para un número real a, se coloca la punta del lápiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de la gráfica a la izquierda de x = a. Se mueve la punta del lápiz a lo largo de la gráfica hacia x = a desde la izquierda y se leen la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el límite lim x→a- f(x) Se repiten los dos pasos hacia arriba, esta vez comenzando en un punto de gráfica a la derecha de x = a, y, acercándose a x = a desde la derecha. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es lim x→a+ f(x) Si existen los límites derecho y izquierdo y tienen lo mismo valor L, entonces lim x→a+ f(x) existe y es igual a L. Para estimar un límite cuando x → +∞, se coloca la punta del lápiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de la gráfica hacia el extremo derecho, y se mueve la punta del lápiz hacia el derecho, leyendo la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el límite lim x→+∞+ f(x) Para x → -∞, se comienza hacia el extremo izquierdo y se mueve al lápiz a la izquierda. Ejemplo La siguiente figura muestra la gráfica de f(x). Primero, calculamos el límite de f(x) a medida que x → 0 por la izquierda: lim x→0- f(x) Entonces,   lim x→0- f(x) = -1 Proximamente, calculamos el límite de f(x) a medida que x → 0 por la derecha:   lim x→0+ f(x) Entonces,   lim x→0+ f(x) = 3 Como los límites derecho y izquierdo son desiguales, concluimos que lim x→0 f(x) no existe.     Evaluación Algebraica de Límites: Límites cuando x → a Para calcular un límite de la forma lim x→a f(x)   algebraicamente: Se comprueba si f es una función de forma cerrada . Aquellas son funciones que se puede representar con una sola fórmula por uso de potencias de x, funciones exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas combinados usando operaciones aritméticas y composición. Si a está en el dominio de f, entonces limx → a f(x) = f(a). Si a no está en el dominio de f, pero f(x) se puede reducir por simplificación a una función que tenga a en su dominio, entonces (a) aplica a la forma reducida de la función. Si a no está en el dominio de f, y no se puede simplificar la función como en (b), pues se simplifica todo lo posible y se estima el límite al enfoque numérico. Si f no es de forma cerrada, y a es un punto a lo que cambia la formula de f, se calcula el límite izquierdo y derecho por separado, y se comprueba si son iguales. Límites como x → ±∞   Para calcular un límite de la forma   lim x→±∞ f(x)   algebraicamente: Si x se esta acercando a ±∞, se comprueba si f(x) es un cociente de funciones polinomiales (es decir, una función racional). Si es, se puede no tener en cuenta todos los términos excepto los con las potencias más grandes. La función más sencilla que se obtiene en esta manera tiene lo mismo límite que f.   Ejemplos   1. Considere el límite lim x→1 x2 - 9 x - 3 . Nota que la función f(x) = x2 - 9 x - 3 es de forma cerrada, con a = 1 en su dominio. Entonces, el límite se obtiene por sustituyendo x = 1 (punto (a) en frente):   lim x→1 x2 - 9 x - 3 = 1 - 9 1 - 3 = 4 2. Luego, considere lim x→3 x3 - 9 x - 3 . Esta vez, a = 3, que no está en el dominio de f, entonces deberíamos simplificar a f(x) para reducir a una función que ya tenga 3 en su dominio:   lim x→3 x2 - 9 x - 3 = lim x→3 (x - 3)(x + 3) x - 3 = lim x→3 x + 3. Ahora, x = 3 es en el dominio f, entonces encontramos el límite por metiendo x = 3: lim x→3 x2 - 9 x - 3 = lim x→3 x + 3 = 3 + 3 = 6. 3. Considere lim x→+∞   x3 + x2 - 9 2x3 - x - 3 . En este caso f(x) es un cociente de polinomios, entonces no tenemos en cuenta todos los términos excepto los con las potencias más grandes de x en el numerador y denominador: lim x→+∞   x3 + x2 - 9 2x3 - x - 3 = lim x→+∞   x3 + x2 - 9 2x3 - x - 3   = lim x→+∞   x3 2x3   = lim x→+∞ 1 2 = 1 2 (Se anula los x2) Funciones Continuas Una función f es continua a a si limx → a f(x) existe, y es igual a f(a). La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. El enfoque algebraico a límites es basado en el hecho que todas las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios. Ejemplos La función f(x) = 3x2-4x+2 es de forma cerrada, y entonces continua a cada punto de su dominio (todos los números reales). La función g(x) = 4x2+1 x - 3 es también de forma cerrada, y entonces continua en su dominio (todas núeros reales excepto 3). Por otro lado, la función   h(x) = -1 si -4 ≤ x < -1 x si -1 ≤ x ≤ 1   x2-1 si  1 < x ≤ 2  no está de forma cerrada y en realidad es discontinua a x = 1. (Ver la tutorial de continuidad.